【欧几里得空间】什么是「四维空间(标准欧几里得空间)」 如何通俗的理解?它与「四维时空」有何联系与不同?

2020-04-15 - 欧几里得

注意到首先作为 -线性空间,有 以描述其维度.其上的全体线性变换 描述了空间之间的变换, 同样是一个线性空间,维度为 ,实际上就是熟知的四阶方阵 ,带上矩阵加法后成为含幺非交换环.若直接带上映射的复合成为幺半群.

【欧几里得空间】什么是「四维空间(标准欧几里得空间)」 如何通俗的理解?它与「四维时空」有何联系与不同?
【欧几里得空间】什么是「四维空间(标准欧几里得空间)」 如何通俗的理解?它与「四维时空」有何联系与不同?

然后是其上的结构,作为欧氏空间即带有欧氏度量结构:

该度量直接诱导出其上的欧氏拓扑,用一系列开球定义开集.当然也可以用直线上的欧氏拓扑用积拓扑得到四维欧氏空间的拓扑.拓扑的存在可以定义更强的连续映射来描述空间的变换.

【欧几里得空间】什么是「四维空间(标准欧几里得空间)」 如何通俗的理解?它与「四维时空」有何联系与不同?
【欧几里得空间】什么是「四维空间(标准欧几里得空间)」 如何通俗的理解?它与「四维时空」有何联系与不同?

通俗地理解就是四根空间的坐标轴,一般来说人脑只能构想三维的图景,那么可以不妨从二维生物的角度来看三维时的观点来部分猜测四维空间.这一点个人也没有过多研究,不深究,如有兴趣推荐加来道雄先生的科普书,里面有很多直观四维空间的介绍和一些想法.

然后来看看四维时空的概念.

四维时空往往在狭义相对论中出现的概念,其核心意在于在狭义相对论的体系下时间和空间不再割离而会有一个非常重要的关联.具体是依靠光速不变原理和狭义相对性原理给出的,其中后者指出线性性(这就是线性映射了,前面提到过),前者最终确定所有系数.在当今完善的体系下我们直接将给出描述,我们直接把四维时空放到四维欧氏空间中,并具体定义分量的形式和意义.定义位置 为:

其中 为常见的三维空间的位置矢量,最后一项就是时间, 为光速, 为虚数单位.我们称这样的四维时空的描述为复闵可夫斯基时空,简称复闵氏时空.其最大的好处在于内积结构完全对标欧氏空间,模长直接就是 .(听说有人想打度规圣战?)

然后看SR的核心问题就是参考系变换,狭义相对性原理告诉我们这所谓参考系变换实际上就是线性变换,然后从光速不变原理中确认系数,我们直接给出著名的洛伦兹矩阵(x-boost下)为:

其中 , 是参考系相对速度, 一般成为洛伦兹因子.则一个参考系的 变到另一个参考系的 直接满足 .类似可以在引入固有时的情况下描述四速度和四加速度,在引入静止质量的情况下描述力和能动量.

其中可以验证洛伦兹矩阵的集合在乘法下构成群,通称庞加莱变换群.这一点其实可以来自 中可逆矩阵的群称为一般线性群 ,这两个群几乎是一样的. 这一点可以根据朴素的直观来理解,那就是一个参考系变到另一个参考系之后肯定要有办法变回来,而且变回来肯定要一样:这就是可逆矩阵的要求.

综上,我们用复闵氏时空的手法简单表示了四维时空,我们注意到其实所谓四维时空就是在四维欧氏空间上每个分量赋予特殊的含义,并且把矩阵也赋予对应的含义.说白了,就是四维时空最终需要借助四维欧氏空间来表达.

不过,请务必注意的事情在于:之所以四维时空可以用四维欧氏空间表述的一个重要原因是狭义相对性原理的保证,而这个原理是爱因斯坦天才般的总结,是富有物理内涵的.(说白了就是学科斗兽学野蛮...)

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